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访客
请帮我推导快速傅里叶变换（Cooley-Tukey FFT）的时间复杂度为什么是 \( O(N \log N) \)，并给出一个紧凑清晰的 Python 递归参考实现。
DS
[思维链展开]：
1. 分治思想：将长为 \( N \) 的离散傅里叶变换分解为偶数索引序列与奇数索引序列两个大小为 \( N/2 \) 的子 DFT。
2. 递推关系：\( T(N) = 2T(N/2) + O(N) \)，其中合并步骤通过旋转因子（Twiddle Factors）线性计算。
3. 主定理（Master Theorem）应用：\( a=2, b=2, d=1 \)，满足 \( \log_b a = 1 = d \)，故总复杂度为 \( T(N) = \Theta(N \log N) \)。

数理推导结论：
标准离散傅里叶变换（DFT）计算量为 \( N^2 \) 次复数乘加。Cooley-Tukey 算法利用周期性与对称性对称拆解，递推式满足 \( T(N) = 2T(N/2) + N \)，根据分治主定理可严格推导其复杂度降至 \( O(N \log N) \)。 

import cmath

def fft(x: list[complex]) -> list[complex]:
    n = len(x)
    if n <= 1:
        return x
    even = fft(x[0::2])
    odd = fft(x[1::2])
    t = [cmath.exp(-2j * cmath.pi * k / n) * odd[k] for k in range(n // 2)]
    return [even[k] + t[k] for k in range(n // 2)] + [even[k] - t[k] for k in range(n // 2)]
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